פרופ' אסתר דרומי סיימה את התואר הראשון (1973) ואת התואר השני (1977) בלימודי הפרעות בתקשורת באוניברסיטת תל-אביב. בלימודי התואר השלישי התמחתה בהתפתחות תקינה של השפה העברית ובלקויות שפה בקרב ילדים דוברי עברית. היא קיבלה את התואר דוקטור בפילוסופיה מאוניברסיטת קנזס בארה"ב (1982). בין השנים 2016-1980 היא שימשה חוקרת ומרצה באוניברסיטת תל-אביב בחוג לחינוך מיוחד וליעוץ חינוכי בבית הספר לחינוך. בשנים האחרונות היא מתמקדת במחקר על ילדים צעירים עם לקויות על הרצף האוטיסטי וכן עוסקת בהערכה, בייעוץ ובפיקוח על תוכניות טיפול של ילדים צעירים הסובלים מהפרעות שפה התפתחותיות (ילדים עם לקויות על הרצף האוטיסטי, ילדים עם איחור בהתפתחות השפה,ילדים עם לקויות שמיעה, וילדים עם אפרקסיה התפתחותית של הדיבור).
פרופ' דרומי הייתה חוקרת ומרצה אורחת באוניברסיטת דאלאס בטקסס ושם לימדה במרכז קלייר להפרעות בתקשורת (1994-1997). היא פעלה בצוות שהקים תכנית לימודים לדוקטוראט באוניברסיטה זו. בין השנים 2000-2004 פרופ' דרומי הייתה ראש החוג להיבטים התפתחותיים בחינוך באוניברסיטת תל-אביב. באותן שנים היא גם שימשה יועצת מדעית מטעם המועצה להשכלה גבוהה בהקמת תכניות לימודים חדשות בתחום הפרעות בתקשורת במכללת הדסה בירושלים ובאוניברסיטת חיפה (2000-2005).
תחומי המחקר העיקריים בהם היא פרסמה ספרים ומאמרים: התפתחות הלקסיקון המוקדם בשפה העברית: המעבר מתקשורת קדם מילית לשפה מוסכמת, הפרעות שפה התפתחותיות בקרב ילדים דוברי עברית בגיל הרך, פיתוח תוכניות להקניית שפה לילדים עם לקויות שמיעה, הערכה של תקשורת, שפה ודיבור בקרב ילדים עם לקויות על הרצף האוטיסטי, פיתוח תוכניות טיפול בגישה התפתחותית-טבעית (NDI).
פרופ' דרומי פירסמה שבעה ספרים מדעיים, ועשרות פרקים ומאמרים בספרים ובכתבי עת מדעיים בין-לאומיים.
בשנת 2018 יצא לאור ספרה המדעי-עיוני בשפה העברית:
"אוטיזם-מסע להבנת הרצף".